Representacións de números enteiros

Xoguemos a representar números. Imaxinemos que temos os números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 e todas as operacións matemáticas dispoñibles. Non é obrigatorio empregar todas as operacións, pero si todos os números.
Por exemplo, 1371.
Unha opción sería: 18 + 435x2 + 69x7.
Pero podemos facelo máis interesante. Debemos empregar os números en orden ascendente ou descendente. É dicir:
1371 = 12 x (3 +45) + 6 +789
1371 = 9x8 + 7 + 6x5x43 + 2x1
 Poderíamos atopar representacións ascendentes e descendentes para todos os números enteiros positivos?
O profesor Inder J. Taneja da Universidade de Santa Catarina (Brazil) publicou un traballo con todas as representacións ascendentes descendentes de todos os números do 0 e 11111. Porén o número 10958 resultou bastante complicado. So foi capaz de atopar representación descendente. Existirá unha representación ascendente?
Como curiosidade só empregou a división nas representacións de oito números: 9668, 9686, 9986, 10084, 10121, 10802, 11027 e 11038.
Velaquí unha páxina do seu traballo: